Essay: Archimedes (Dutch) - Essay Marketplace

Essay: Archimedes (Dutch)

Archimedes (287 v. Chr ‘ 212 v. Chr) maakte gebruik van een cirkel met straal 1, met een ingeschreven veelhoek en een omgeschreven veelhoek. Wanneer de straal gelijk is aan ‘?n, is de omtrek van die cirkel gelijk aan ??. Archimedes redeneerde dus dat de omtrek van de cirkel kleiner moest zijn dan de omtrek van de omgeschreven veelhoek, maar wel groter dan de omtrek van de ingeschreven veelhoek. Zo startte hij met een zeshoek, waarna hij telkens het aantal hoeken vergrootte tot hij een veelhoek met 96 zijden uitkwam. Deze veelhoek benadert de omtrek van de cirkel al goed, Archimedes vond dan ook dat:

3,1408<??<3,1429 of 223/71<??<22/7 Het ongelofelijke aan deze berekening is dat Archimedes niet beschikte over algebra??sche notaties. Archimedes’ methode doet beroep op zuiver abstracte berekeningen. Om tot zijn benadering te komen, moest Archimedes voor elke stap een schatting doen voor de waarde van de vierkantswortels door waarden te nemen die er net boven, of er net onder liggen. 4.2. Ludolph Van Ceulen Duits/Nederlands wiskundige Ludolph Van Ceulen (1540-1610) maakte bijna 2000 jaar na Archimedes gebruik van diezelfde methode. Hij besteedde het grootste deel van zijn leven aan het vinden van meer decimalen van dit wonderbaarlijke cijfer. Hij slaagde er zowaar in om ?? te berekenen tot op 35 correcte decimalen! Hij moest hiervoor echter zeer ver gaan, in tegenstelling tot Archimedes stopte hij niet bij 96 zijden, hij ging door tot 4.611.686.018.427.387.904 zijden (meer dan 4661 triljard)! Hij had dan wel meer decimalen kunnen vinden dan zijn voorgangers, maar het is overduidelijk dat dit een zeer arbeidsintensieve methode is. Gelukkig waren er tijdgenoten van Van Ceulen, die er in slaagden om eenvoudigere methodes te ontdekken. 4.2.Fran??ois Vi??te Fran??ois Vi??te (1540-1603), was de eerste die op het idee kwam om ?? voor te stellen als een oneindig product. Volgens hem kan ?? geschreven worden als of: Het was met 9 correcte decimalen niet de meest nauwkeurige benadering van ?? op dat moment (de Perzische Jamsh??d al-K??sh?? had in 1424 ?? al berekend tot op 14 decimalen), maar toch was het gebruiken van een oneindig product een zeer belangrijke stap. Het was de eerste formule die een getal voortelde met een oneindig proces in plaats van een eindige berekening. De formule wordt zelf gezien als het begin van de analyse, of wordt soms zelf het ‘begin van de moderne wiskunde’ genoemd. 4.3.John Wallis Ook John Wallis (1616-1703) gebruikte het idee om ?? te berekenen via een oneindig product. Hij kwam in 1655 tot volgende formule: ??=2??(2??2)/(1??3)??(4??4)/(3??5)??(6??6)/(5??7)’ Deze formule kan na enkele algebra??sche transformaties ook geschreven worden als: ??=2’_(p=1)^”’4p’^2/((2p-1)??(2p+1))=2’_(p=1)^”(1-1/’4p’^2 )^(-1) Wallis had natuurlijk niet de methodes die wij nu hebben om dit te kunnen bewijzen of zelf om op dit oneindig product te komen. Maar hoe deed hij dat dan? Hij gebruikte een algebra??sch-meetkundige benadering waarbij hij het oppervlak van een kwart cirkel bestudeerde, waarvan hij wist dat de vergelijking y??=1-x?? of y='(1′-x’^2)’^(1/2) is. Hij beschouwde de oppervlakken begrensd door de krommen y='(1-x^2)’^(h/2), voor verschillende waarden van h. Hij maakte gebruik van het opdelen in kleine rechthoeken en leerde dankzij de kennis die hij al had van de som (s_p=1+2^p+’+n^p) bepaalde eigenschappen van de krommen. Deze brachten hem uiteindelijk bij zijn opmerkelijke formule. Het is niet echt een precieze methode, met heel wat ‘prutswerk’, maar toch heeft het geleid tot een speciale formule om ?? te berekenen. Het mooie aan de formule is ook dat er geen enkele wortel in voorkomt, in tegenstelling tot de eerdere formule van Vi??te. Het duurt wel vrij lang om een groot aantal correcte cijfers van ?? te verkrijgen. 2?? (2??2)/(1??3)??(4??4)/(3??5)??(6??6)/(5??7)??(8??8)/(7??9)??(10??10)/(9??11)=3,0021759545 2?? (2??2)/(1??3)??(4??4)/(3??5)??(6??6)/(5??7)??(8??8)/(7??9)”?(50??50)/(49??51)=3,1260789002 2?? (2??2)/(1??3)??(4??4)/(3??5)??(6??6)/(5??7)??(8??8)/(7??9)”?(500??500)/(499??501)=3,1400238186 2?? (2??2)/(1??3)??(4??4)/(3??5)??(6??6)/(5??7)??(8??8)/(7??9)”?(5000??5000)/(4999??5001)=3,1414355935 Later bleek dat het Wallis-product een simpel gevolg is van Eulers oneindige productformule voor de sinusfunctie. Hiermee is ook eenvoudig te bewijzen dat ??= 2’_(p=1)^”(1-1/’4p’^2 )^(-1) Bewijs: Start met Eulers oneindige productformule: sin’x/x=’_(p=1)^”(1-x^2/(p^2 ??^2 )) Met x= ??/2 volgt dan: ‘2/??=’_(p=1)^”(1-1/’4p’^2 ) ‘??/2=’_(p=1)^”(1-1/’4p’^2 )^(-1) ‘??= 2’_(p=1)^”(1-1/’4p’^2 )^(-1) 4.4. Algoritme van Gauss-Legendre Een moderne methode om ?? te berekenen is het algoritme van Gauss-Legendre, vernoemd naar de wiskundigen Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Zij werkten dit model theoretisch uit, maar hadden nog niet de computers zoals vandaag om het ook echt te kunnen toepassen. Het algoritme is eigenlijk vrij simpel, je begint met de startwoorden: Waarna je elke keer op nieuw herhaalt: , , , . Na vele herhalingen zal je een goede benadering van ?? bekomen door: Het aantal juiste cijfers van ?? verdubbelt met elke stap, zo heb je na drie benaderingen al: ‘??3,14159265358979. Het is dus een zeer effici??nte manier om ?? te berekenen, het enige nadeel is wel dat het een zeer groot geheugen vereist.

Review this essay:

Name
Rating
Your review: (optional)

Latest reviews:

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.